Türetim ile ℤ2s+uℤ2s Halkası Üzerinde Aykırı Devirli Kodlar

Abstract

Kodlama teorisinde, lineer kodların özel bir sınıfı olan devirli kodlar ile ilgili araştırmalar büyük ilgi görmektedir. Bu ilginin en önemli nedenlerinden bazıları devirli kodların zengin cebirsel özellik- lere sahip olmaları, birçok uygulama alanlarının bulunması, kodlama ve kod çözmede kolaylık sağ- lamaları olarak sayılabilir. Devirli kodların sabit-devirli, parçalı devirli ve yarı burmalı devirli kodlar gibi genellemeleri bulunmaktadır. Bu genellemelerin çoğunda değişmeli yapılar üzerinde çalışılmıştır. Son zamanlarda devirli kodların değişmeli olmayan halkalardaki üreteç polinomları kullanılarak bir başka genellemesi (aykırı devirli kodlar) tanımlanmıştır. Aykırı polinom halkalarının cebirsel özel- likleri nedeniyle aykırı devirli kodlar optimal kod bulma açısından devirli kodlara göre daha avantaj- lıdır. Bu çalışmada u2=1 olmak üzere ℤ4+uℤ4 halkası üzerinde tanımlı aykırı devirli kodlar için elde edilmiş bazı sonuçların s≥2 için S=ℤ2s+uℤ2s halkası için genellemesi yapılmıştır. θ, S üzerinde bir otomorfizm ve δθ, S üzerinde bir türetim olmak üzere S[x,θ,δθ ] aykırı polinom halkaları kullanılarak, δθ-devirli kodlar tanımlanmıştır. S[x,θ,δθ ] daki herhangi bir elemanın merkez eleman olabilmesi için gerek ve yeter koşul verilmiştir. δθ dönüşümü ile S halkasının tüm elemanlarının görüntüleri elde edil- miş ve tanımlanan Gray dönüşümü ile S halkasının elemanları için Gray ağırlığı ile S nin θ tarafından sabit bırakılan alt halkası Sθ tanımlanmıştır. Ayrıca bu kodların üreteç ve kontrol matrislerinin formu belirlenmiş ve özellikle s=4 için bazı örnekler verilmiştir.